Lim là tên viết tắt của Limit có nghĩa là giới hạn. Thuật ngữ này sử dụng khá nhiều trong toán học bởi tính quan trọng của nó. Vậy lim là gì? Có những cách tinh lim nào? Chúng ta cùng tìm hiểu trong bài viết này để rút ra những kinh nghiệm khi giải các bài toán khó.

Phương pháp tính lim nhanh

Lim là gì?

Khái niệm Lim đa số được sử dụng trong môn toán học. Theo định nghĩa từ xa xưa thì lim là giá trị mà một hàm số hay biến số (cũng có thể là dãy số) tiếp cận đến khi các biến trong nó tiếp cận đến 1 số nào đó.

Lim là một khái niệm quan trọng trong giải tích và được sử dụng để định nghĩa về tính liên tục, các ý nghĩa về đạo hàm và một số còn dùng trong các phép tính tích phân.

Một số phương pháp tính lim thủ công

Tính giới hạn của dãy số

Cách 1: Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số

Cách 2: Tìm giới hạn của dãy số bằng công thức

Một số công thức ta thường gặp khi tính giới hạn hàm số như sau:

Công thức trên có thể biến tấu thành các dạng khác tuy nhiên về bản chất thì không thay đổi.

Cách 3: Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn

Cách 4: Sử dụng các giới hạn đặc biệt cùng với định lý để giải quyết các bài toán tìm giới hạn dãy số

  • Ta thường sử dụng các dạng giới hạn:

  • Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa lũy thừa của n thì ta tiến hành  chia cả tử và mẫu cho n^k với k là mũ cao nhất ở bậc mẫu.
  • Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hợp để đưa về dạng cơ bản thì ta có một số lượng liên  hợp cần thiết như sau:

Cách 5: Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn, tính giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số.

  • Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là |q| < 1
  • Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (Un)

S = u1 + u2 + u3 + u4 + .... + un = u1 / ( 1 - q )

  • Mọi số thập phân đều được biểu thị dưới dạng lũy thừa của 10.

Câu 6: Tìm giới hạn vô cùng của một dãy số bằng định nghĩa

  • Khi lim khi và chỉ khi  un có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Cách 7: Tìm giới hạn của một dày số bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực

Chứng minh một dãy số có giới hạn

Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:

  • Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.
  • Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn.

Chứng minh tính tăng và tính bị chặn:

Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên (dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M.

Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:

Phương pháp 1

Đặt lim un = a. Từ lim u(n+1) = lim f(un) ta được một phương trình theo ẩn a.

Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (un) là một trong các nghiệm của phương rình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần tìm. còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm.

Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.

Phương pháp 2: Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán. Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học. Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó.

Tính giới hạn của hàm số

Để tính giới hạn của hàm số ta có thể thực hiện một số phương pháp như sau:

  • Dùng định nghĩa để tìm giới hạn
  • Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức
  • Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên
  • Sử dụng định lí và công thức tìm giới  hạn một bên
  • Tính giới hạn vô cực
  • Tìm giới hạn của hàm số dạng 0/0
  • Dạng vô định

Dưới đây là một số công thức tính hàm số vô cùng cơ bản:

Cách tính lim bằng máy tính

Bước 1: Trước tiên hãy nhập biểu thức vào máy tính

Bước 2: Sử dụng chức năng đó là gán số tính giá trị biểu thức

Bước 3: Lưu ý gán các giá trị theo bên dưới:

+) Lim về vô cùng dương thì hãy gán số 100000

+) Lim về vô cùng âm thì hãy gán số -100000

+) Lim về 0 thì hãy gán số 0.00000001

+) Lim về số bất kì chẳng hạn như về +3 thì gán 3.000000001 còn về 3- thì gán 2.9999999999

Tính lim là một dạng bài tập  khá cơ bản, tuy nhiên dạng toán này vẫn chiếm một vài câu trong đề thi trung học phổ thông quốc gia. Các bạn cần đảm bảo tính chính xác khi làm. Đặc biệt có thể sử dụng máy tính Casio để có thể tính toán nhanh và chính xác nhất.

Với bài viết này, bạn đọc được tiếp cận rất nhiều cách tính lim khác nhau. Tuy nhiên, khi tiếp cận ban đầu chỉ nên sử dụng các phương pháp thủ công bởi vì chúng sẽ giúp bạn có thể hiểu sâu sắc hơn về giới hạn. Ngược lại, khi tiếp cận các bài toán tính lim ở các bài thi, để tiết kiệm thời gian thì bạn hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp tính bằng máy tính để tiết  kiệm thời gian cũng như tăng độ chính xác.